Rùa và Achilles • Evgeny Epifanov • Các nhiệm vụ khoa học phổ biến về “Yếu tố” • Toán học

Rùa và Achilles

Nhiệm vụ

Achilles cách bức tường cố định 1 mét, mà một dải cao su được gắn vào một đầu (chúng ta xem xét cao su lý tưởng, có nghĩa là, có khả năng kéo dài vô thời hạn). Đầu kia của băng Achilles cầm trong tay. Gần bức tường trên ruy-băng là một con rùa. Đồng thời, cả hai đều bắt đầu di chuyển: Achilles chạy từ bức tường với tốc độ 10 m / s và kéo dài dải ruy băng, và con rùa bò theo hướng của mình dọc theo băng ở tốc độ riêng của nó là 10 cm / s. Sẽ vượt qua bao giờ là con rùa của achilles? Nếu bạn nghĩ rằng câu trả lời cho câu hỏi này là có, thì thử ước tính thời gian nó sẽ mất một con rùa.


Gợi ý

Giải pháp của vấn đề có thể được tiếp cận theo hai cách hơi khác nhau. Đầu tiên, bạn có thể tính toán tốc độ của rùa liên quan đến tường, tùy theo thời gian. Nếu tại một số điểm tốc độ của cô sẽ lớn hơn tốc độ của Achilles (mà không thay đổi), sau đó nó là rõ ràng rằng cô ấy sẽ bắt kịp với anh ta. Thứ hai, có thể tính toán tỷ lệ đường đi của một con rùa thay đổi theo thời gian như thế nào.


Giải pháp

Chúng tôi sẽ ngay lập tức đồng ý rằng chúng tôi coi cả Achilles và con rùa là điểm.

Thoạt nhìn, có vẻ như con rùa không có cơ hội bắt kịp Achilles – sau cùng, anh ta chạy quá nhanh khỏi cô ấy! Nhưng nếu bạn nghĩ về nó, sự cân bằng của các lực lượng không còn rõ ràng nữa.Thực tế là ruy băng trên đó rùa ngồi liên tục kéo dài. Vì vậy, ngay cả khi con rùa đột nhiên dừng lại để nghỉ ngơi tại một số điểm, nó vẫn sẽ di chuyển ra khỏi bức tường. Nhưng con rùa của chúng tôi là bồn chồn, nó bò không mệt mỏi cho anh hùng bỏ trốn, và điều này có nghĩa là tất cả thời gian nó làm giảm phần của băng mà tách nó khỏi mục tiêu. Câu hỏi đặt ra là cô ấy nhanh chóng làm thế nào.

Điều quan trọng là phải hiểu rằng câu trả lời cho câu hỏi liệu con rùa sẽ bắt kịp Achilles chưa được nhận chưa. Hãy xem xét một tình huống mà phần còn lại của băng được giảm tất cả thời gian, nhưng con rùa không bắt kịp với Achilles. Hãy để nó ban đầu ngồi ở giữa của băng (cho nó một khởi đầu) và cứ mỗi giây khắc phục chính xác một nửa phần còn lại của băng (tất cả các phép đo được thực hiện trong các phần của chiều dài băng, do đó có thể được coi là bằng 1, mặc dù thực tế là liên quan đến "người quan sát tĩnh" các băng được kéo dài tất cả các thời gian). Trong một giây, con rùa sẽ ở độ dài 3/4 chiều dài của băng (sẽ là 11 mét tại thời điểm đó), trong một giây nữa – đến 7/8, vv Có thể thấy rằng con rùa đang dần dần tiến đến cuối băng – qua n giây cô ấy sẽ phải vượt qua một phần của băng, đây là một chút (ví dụ, trong một phút chiều dài của băng sẽ là 601 mét, và con rùa sẽ bò từ khoảng cách này, nhỏ hơn một nanomet). Vấn đề là nhỏ hơn 1, tức là, không có điểm cuối cùng nào trong thời gian con rùa đến cuối băng.

Bây giờ, tất cả như nhau, chúng ta hãy tính toán những gì đang xảy ra trong nhiệm vụ của chúng tôi. Chúng tôi sẽ sửa vị trí của con rùa trên băng mỗi giây. (Chúng ta có thể giả định rằng mỗi Achilles thứ hai thay đổi 10 mét, kéo dài băng và con rùa leo sau 10 cm. Giả thiết này không thay đổi bản chất của những gì đang xảy ra – dường như chúng ta đang xem quá trình từ các bức ảnh được chụp ở khoảng thời gian thứ hai.) Cho qua n giây sau khi bắt đầu chuyển động, con rùa đã tiến lên xn (nhớ lại rằng chúng tôi đo lường sự tiến bộ của nó trong cổ phiếu của 1 – chiều dài đầy đủ của băng; ngay từ đầu x0 = 0). Vị trí của cô ấy sẽ thay đổi như thế nào trong một giây? Đầu tiên, băng sẽ kéo dài đến 10 mét và chiều dài của nó sẽ là 1 + 10 (n + 1) mét. Đồng thời, chia sẻ của con đường đi theo con rùa sẽ không thay đổi, bởi vì nó cũng di chuyển trong khi ruy băng được kéo dài. Sau đó, rùa thu thập 10 cm, từ độ dài của băng.Nhận phụ thuộc . Bạn có thể nhận được một công thức rõ ràng cho xn+1. Để làm điều này, nó là cần thiết trong công thức để di chuyển đến tất cả các thành viên trước đó của chuỗi. Đây là những gì sẽ xảy ra:

.

Nhỏ gọn hơn, số tiền này có thể được viết là: . Chúng tôi cần tìm hiểu xem số tiền này có thể lớn không n đi qua 1, và nếu có, xấp xỉ n nó sẽ xảy ra. Trước khi đọc thêm, hãy kiểm tra trực giác của bạn: nếu bạn có thể n xn nhiều hơn 1? (Kỳ đầu tiên trong tổng là 1/110, số thứ hai là 1/210, v.v.)

Vì vậy, và chúng ta cần hiểu số tiền này thay đổi như thế nào khi tăng n. Để dễ dàng tính toán hơn nữa, chúng tôi sửa đổi một chút các điều khoản trong số tiền này. Sẽ giảm chúng, thay thế 1 đến 10: . Đương nhiên, toàn bộ số tiền được giảm. Nhưng nếu về số tiền mới này, nó quay ra để tìm ra rằng nó là một số n sẽ lớn hơn 1, thì bản gốc cũng sẽ lớn hơn 1 cho các n. Do đó, chúng tôi điều tra x 'n. Viết lại số tiền này một lần nữa, loại bỏ các thuật ngữ cuối cùng (điều này sẽ làm giảm nó nhiều hơn một chút): . Nếu chúng ta nhân sự bình đẳng này lên 100 và thêm 1 cho cả hai phần, thì ở bên phải của sự bình đẳng chúng ta nhận được n-Tôi tổng một phần của loạt hài: . Hàng này phân kỳ – Dù số lượng lớn bạn lên kế hoạch, với đủ lớn n một phần của loạt bài này sẽ lớn hơn số của bạn. Đặc biệt, có như vậy nsố tiền đó sẽ lớn hơn 101, tức là 100x 'n + 1> 101, có nghĩa là x 'n > 1 và, tương ứng, xn > 1.

Vì vậy, con rùa sẽ bắt kịp Achilles. Vấn đề duy nhất là điều này sẽ xảy ra rất sớm. Theo công thức của Euler ≈ ln n + γ, ở đây ln là logarit tự nhiên (dựa trên e), và γ ≈ 0,5772 … là hằng số Euler-Mascheroni. Do đó, con rùa sẽ cần thứ tự e100 ≈ 1044 giây để bắt kịp Achilles (trên thực tế, ít hơn một chút vì ước tính của chúng tôi, nhưng điều này sẽ không gây ra bất kỳ lỗi đáng kể nào). Để so sánh: theo ước tính hiện đại, tuổi của Vũ trụ xấp xỉ 4,3 · 1017 giây


Lời nói

Trong quyết định chúng tôi đã gặp hai hàng. Việc đầu tiên – tổng các số nghịch đảo với quyền hạn của hai – hội tụ đến 1. Thứ hai là một loạt hài hòa. Về anh ta, có lẽ, nghe tất cả những người đã vượt qua ở trường trung học toán học cao hơn hoặc bắt đầu phân tích toán học. Sự phân kỳ của chuỗi điều hòa rất dễ chứng minh. Như chúng ta đã thấy, chuỗi phân tách rất chậm: để tổng số tiền lớn hơn 100, bạn cần phải có một số lượng lớn các thuật ngữ. Điều này là do thực tế là hàng loạt hài hòa chiếm một "biên giới" nơi hội tụ.Nếu bạn xây dựng các số trong mẫu số của các phân số trong một chuỗi với bất kỳ lũy thừa nào lớn hơn 1, thì một chuỗi như vậy sẽ hội tụ. Ví dụ: hàng hội tụ với một số (lớn) số. Một hàng hội tụ thành số . Thông tin thêm về tất cả điều này là tốt hơn để đọc ít nhất trong Wikipedia.

Một nhiệm vụ đáng chú ý khác là dựa trên sự phân kỳ của loạt hài hòa Bạn có thể làm quen với chi tiết bằng cách trình bày đẹp trong đó có sẵn trên trang web "Toán học Etudes". Nó chỉ ra rằng nếu bạn có đủ (rất lớn!) Cung cấp gạch, sau đó bạn có thể xây dựng một cái thang có chiều dài tùy ý lớn, trong đó mỗi bước chính xác là một viên gạch.

Một câu chuyện thú vị được kết nối với một nhiệm vụ tương tự về một ban nhạc cao su. Nó được lấy từ một ghi chú của Viện sĩ L. B. Okun trong ba tập phim, dành cho các cuộc họp của ông với A. D. Sakharov (xuất bản trên tạp chí Priroda, số 8, 1990). Đây là đoạn văn:

"Ngày 21 tháng 7 năm 1976 Nhà hàng Aragvi ở Tbilisi, nơi diễn ra buổi dạ tiệc của những người tham dự Hội nghị quốc tế về Vật lý năng lượng cao (XVIII trong chuỗi hội nghị Rochester). Nhiều bàn dài. Tôi gần một trong số đó gần Andrei Dmitrievich. cuộc trò chuyện đã thay đổi hướng ngẫu nhiên.Tại một số điểm, nói về các nhiệm vụ cho sự khéo léo. Và sau đó tôi đề xuất với Andrei Dmitrievich vấn đề về một lỗi trên cao su lý tưởng. Bản chất của nó là như sau.

Một sợi dây cao su với chiều dài 1 km được gắn ở một đầu vào tường và dây kia trong tay bạn. Con bọ bắt đầu bò dọc theo sợi dây từ tường đến bạn với tốc độ 1 cm / s. Khi anh ta thu thập chu vi đầu tiên, bạn kéo dài cao su thêm 1 km, khi anh ta thu thập chu vi thứ hai – một km nữa, và cứ thế tiếp tục. Câu hỏi đặt ra là: liệu lỗi có thu thập thông tin cho bạn hay không, và nếu nó thu thập thông tin, bao lâu?

Cả trước và sau tối nay tôi đã giao nhiệm vụ này cho những người khác nhau. Một mất khoảng một giờ để giải quyết nó, một ngày khác, những người khác vẫn kiên quyết thuyết phục rằng con bọ sẽ không bò, và câu hỏi thời gian được yêu cầu đặt nó sai hướng.

Andrei Dmitrievich nhắc lại tình trạng của vấn đề và yêu cầu một tờ giấy. Tôi đưa cho anh ta tấm thiệp mời của tôi đến bữa tiệc, và anh ta lập tức viết một giải pháp cho vấn đề ở mặt sau mà không có bất kỳ bình luận nào. Mất khoảng một phút. "


Like this post? Please share to your friends:
Trả lời

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: