Điều gì là phổ biến giữa một con vịt và một tàu sân bay? • Hayk Hakobyan • Nhiệm vụ khoa học phổ biến trên “Yếu tố” • Vật lý

Điều gì là phổ biến giữa một con vịt và một tàu sân bay?

Trong nhiệm vụ Âm nhạc của sóng, âm nhạc của gió, sự lan truyền sóng trên bề mặt nước sâu đã được thảo luận. Đặc biệt, nó bắt nguồn từ việc cân nhắc kích thước mà con quạ \ (k \) và tần số \ (\ omega \) của các sóng như vậy có liên quan bởi quan hệ phân tán \ (\ omega ^ 2 = gk, \) trong đó \ (g \) là tăng tốc tự do mùa thu. Các khái niệm về vận tốc sóng pha và nhóm cũng được thảo luận. Vận tốc pha là \ (v _ {\ text {ф}} = \ omega / k \), và nếu quan hệ phân tán cho các công trình trên, thì vận tốc nhóm nhỏ hơn vận tốc pha 2 lần. Một số điều này là hữu ích ngay bây giờ.

Trong vấn đề nêu trên, sóng trên bề mặt nước được tạo ra bởi ảnh hưởng liên tục của gió, và tình huống đơn giản nhất được xem xét: các sóng truyền theo đường thẳng. Lần này là một trường hợp thú vị hơn một chút.

Khi có thứ gì đó đủ lớn để trôi nổi trên mặt nước với tốc độ không đổi, vẫn còn phía sau "hình nón" (vì mọi thứ xảy ra trên bề mặt của nước, nói chính xác hơn về góc rẽ của sóng) là cấu trúc của sóng, trải dài tiếp theo. Điều này có thể được quan sát cả khi vịt bơi chầm chậm trên ao, và khi tàu sân bay nhiều tấn cắt xuyên qua đại dương (Hình 1). Mô tả toán học về hiệu ứng này lần đầu tiên được đưa ra bởi Lord Kelvin trong thế kỷ 19 (W.Thomson, 1887. Trên sóng tàu); chúng đã được gọi là Kelvin wake, có thể được dịch là "sóng thức tỉnh" của Kelvin.

Hình 1. Killevate sóng trên mặt nước. Ảnh từ các trang web math.ubc.ca và thatsmaths.com

Nhiệm vụ

Điều thú vị là góc giữa các sóng phân kỳ không phụ thuộc vào tốc độ của vật thể, cũng như kích thước của vật thể hoặc bất cứ thứ gì khác (tức là, nó không quan trọng: vịt hay tàu sân bay đang trôi nổi). Góc này là một hằng số phổ quát có thể được tìm thấy từ các cân nhắc hoàn toàn hình học.

Xác định giá trị của góc "hình nón" của sóng đánh thức.


Mẹo 1

Đầu tiên, giải thích tại sao góc này không phụ thuộc vào bất cứ thứ gì. Hãy suy nghĩ về những gì sẽ xảy ra nếu bạn chỉ nắm tay hoặc dính vào nước với tốc độ không đổi. Và nếu bạn dùng hai tàu, một trong số đó có mũi nhọn, và cái kia có mũi phẳng?

Có độ dài đặc biệt nào trong vấn đề này không? Nếu không, thì cái nào nên theo sau? Nếu vậy, chiều dài này là bao nhiêu? Bạn có thể hỏi cùng một câu hỏi khác nhau: các sóng được tạo ra bởi một chuyển động như thế nào?


Mẹo 2

Cố gắng suy nghĩ về mặt hình học. Vẽ cách mặt trước pha được hình thành: nghĩa là, trên đường cong nào là tất cả các điểm trong pha. Sau đó, tận dụng lợi thế của thực tế là các gói sóng tự truyền bá hai lần chậm hơn theo hướng vuông góc với mặt trước pha.


Giải pháp

Trước tiên, bạn cần phải nhận ra rằng không có một tham số chiều trong nhiệm vụ. Kích thước của một con tàu hoặc một con vịt, cho dù một con tàu có mũi phẳng hay nhọn, không phụ thuộc vào bất cứ thứ gì. Trong thực tế, điều duy nhất ảnh hưởng đến hình học của vật thể chính là một số nhiễu loạn ở đâu đó rất gần mũi, trong khi ở khoảng cách xa đối tượng sóng không còn “cảm thấy” bất kỳ kích thước nào của con tàu.

Tốc độ tàu v, có thể là một giá trị chiều, nếu nhiệm vụ có một số đặc điểm của thời gian, với sự giúp đỡ của nó, nó sẽ có thể biến đổi tốc độ thành một khoảng cách.

Nó chỉ ra rằng vì chúng ta không có chiều dài được chọn, bản thân tàu (hoặc vịt) có thể được coi là một điểm vật chất. Kết quả là, không có bước sóng cụ thể: tàu cơ bản kích thích tất cả các bước sóng (hoặc tất cả các số sóng \ (k \) và tần số \ (\ omega \)) cùng một lúc. Kết quả của sự chồng chất của các sóng như vậy được thể hiện trong hình. 2

Hình 2 Kết quả của sự chồng chất của tất cả các bước sóng được kích thích bởi một tàu thuyền theo chiều ngang

Nhưng làm thế nào là kết quả là một hình dạng "hình nón" với một góc mà không phụ thuộc vào bất kỳ thông số khác?

Thứ nhất, rõ ràng là chúng ta chỉ quan tâm đến những sóng có vận tốc pha nhỏ hơn v. Nếu vận tốc pha lớn hơn v, sẽ không có giai đoạn trước, chúng ta sẽ thấy điều này một chút sau.

Trong hình. 3 cho thấy cách pha phía trước được hình thành cho một trong những sóng được tạo ra bởi con tàu với vận tốc pha \ (v _ {\ rm ф} = 0 {,} 8 v \). Tất cả các điểm trên đường màu đỏ của mặt trước pha đều có cùng pha. Trong tương lai, bạn cần phải nhớ rằng con tàu tạo ra nhiều sóng với vận tốc pha từ \ (v _ {\ rm ф} \ approx 0 \) đến \ (v _ {\ rm ф} \ approx v \), nhưng chúng ta sẽ xem xét chúng một cách riêng biệt để đơn giản.

Hình 3 Sự hình thành mặt trước pha cho \ (v _ {\ rm f} = 0 {,} 8 v \)

Trong thực tế, tất nhiên, chúng ta không quan tâm đến mặt trận pha, nhưng trong nhóm, vì gói sóng vật lý, năng lượng và thông tin về sóng truyền với vận tốc nhóm. Để xây dựng một nhóm phía trước, chúng ta hãy nhớ rằng gói sóng di chuyển với tốc độ một nửa kích thước của giai đoạn (có nghĩa là, trong ví dụ này, nó là 0,4v), theo hướng vuông góc với mặt trước pha. Trong hình. 4 cho thấy cách một nhóm mặt trước được hình thành bằng cách sử dụng các đường vuông góc với mặt trước pha.

Hình 4 Hình thành mặt trận nhóm

Như đã đề cập ở trên, con tàu kích thích nhiều sóng với vận tốc pha từ 0 đến v. Trong hình. 5 cho thấy các mặt trận như thế được hình thành như thế nào trong trường hợp của tất cả các sóng này. Trong khi mặt trước pha có thể có góc nghiêng mong muốn tương ứng với quỹ đạo, mặt trước của nhóm không lệch nhiều hơn một giá trị nhất định của góc ngay cả ở tốc độ gần v.

Hình 5 Mặt trận pha và nhóm cho các tốc độ sóng khác nhau

Trong hình. 6 cho thấy nhiều sóng cùng với vòng tròn rải rác, kích thích tại một số điểm trong quá khứ (khi con tàu ở điểm màu tím). Các đường tiếp xúc với các vòng tròn này từ vị trí hiện tại của tàu (chấm màu vàng) tương ứng với mặt trước pha cho từng sóng, và các tâm vuông góc với mặt cắt pha tương ứng với vị trí của các gói sóng. Như có thể thấy từ hình, các trung tâm này tạo thành một vòng tròn (điều này có thể dễ dàng được chứng minh bằng toán học, cố gắng tự làm), tiếp tuyến tương ứng với góc phân kỳ tối đa của sóng mà chúng ta quan tâm.

Hình 6 Kích thích sóng với tốc độ pha từ 0 đến v (vòng tròn rải rác), mặt trước pha tương ứng (tiếp tuyến với các vòng tròn của điểm vàng bên phải), và vị trí của gói sóng cho từng trường hợp. Nó được nhìn thấy rằng có một góc tối đa của độ lệch sóng.

Có hiểu lý do tại sao có một góc độ nghiêng tối đa của các gói sóng, chúng ta hãy tìm giá trị của nó. May mắn thay, với kiến ​​thức sẵn có, đây là một vấn đề hình học đơn giản. Rõ ràng, đối với sóng với \ (v _ {\ rm ф} \ xấp xỉ 0 \), gói pha không thể đi xa, vì vậy đầu trái của vòng tròn mong muốn (vị trí của các gói sóng, Hình 7) đi qua vị trí bắt đầu của vịt con hoặc con tàu. Mặt khác, đối với một sóng với \ (v _ {\ rm ф} \ approx v \), gói sóng phải truyền khoảng \ (vt / 2 \) theo hướng nằm ngang (vì mặt trước của pha sẽ thẳng đứng). Vì vậy, một vòng tròn có đường kính \ (vt / 2 \) là thu được, và bây giờ nó là cần thiết để tìm góc của tiếp tuyến với nó, \ (\ theta \).

Hình 7 Vị trí của các gói sóng cho tất cả các sóng kích thích trong một thời gian t trở lại, tạo thành một vòng tròn có đường kính vt/2

Nó rất dễ thấy từ thuộc tính tiếp tuyến \ (\ sin {\ theta} = (vt / 4) / (3vt / 4) = 1/3 \), và do đó \ (\ theta \ xấp xỉ 19 {,} 47 ^ {\ circ} \). Đó là, góc "hình nón" \ (2 \ theta \ khoảng 38 {,} 9 ^ {\ circ} \).Lưu ý rằng trên thực tế, chúng tôi chỉ sử dụng hai sự kiện đơn giản khi nhận được giá trị này: (một) một vật thể trên mặt nước kích thích toàn bộ phổ sóng với vận tốc pha từ 0 đến v, (ba) các gói sóng lan truyền ở một nửa tốc độ của pha theo hướng vuông góc với mặt trước pha. Và số kết quả không phụ thuộc vào hình dạng hoặc kích thước của vật thể nổi, cũng như tốc độ chuyển động của nó.


Lời nói

Như mọi khi, đặt phòng trong “bản in đẹp” được gắn với bất kỳ lý thuyết vật lý đẹp nào, thực tế không đơn giản như vậy. Năm 2013, một tác phẩm rất thú vị của các nhà vật lý Pháp đã được xuất bản, trong đó các tác giả đã phân tích hình ảnh vệ tinh trên bản đồ của Google, thu thập số liệu thống kê về các góc của một giải pháp sóng đánh thức.

Trong hình. 8. Hai ví dụ về các hình ảnh như vậy được hiển thị. Lúc đầu, một xà lan lớn thương mại để lại một đường mòn với một góc giải pháp gần với giá trị dự đoán, \ (\ alpha \ khoảng 20 ^ {\ circ} \). Ảnh thứ hai cho thấy một tàu cao tốc nhỏ với góc đánh thức của \ (\ alpha \ khoảng 9 ^ {\ circ} \). Một phân tích thống kê các góc đã chỉ ra rằng, ngoài các trường hợp khi các góc xấp xỉ bằng giá trị dự đoán của \ (19,47 ^ {\ circ} \), cũng có nhiều trường hợp các góc của dung dịch nhỏ hơn!

Hình 8 Ví dụ về sóng đánh thức được tìm thấy trong hình ảnh vệ tinh. Trong trường hợp đầu tiên, góc gần với giá trị được dự đoán (\ (\ alpha \ khoảng 20 ^ {\ circ} \), trong trường hợp thứ hai nó nhỏ hơn (\ (\ alpha \ approx 9 ^ {\ circ} \). Ảnh từ bài viết của Marc Rabaud, Frédéric Moisy, 2013. Tàu đánh thức: Kelvin hoặc Mach angle?

Về cơ bản, những "ngoại lệ" tương ứng với các tàu thuyền nhỏ và nhanh. Nó chỉ ra rằng lý thuyết mô tả ở trên có một số hạn chế. Có chuyện gì vậy?

Chìa khóa giải thích hiện tượng này là tham số không thứ nguyên, được gọi là số Froude (số Froude):

\ [Fr = \ frac {U} {\ sqrt {g L}}, \]

ở đâu UL – tốc độ và kích thước của con tàu, và g – tăng tốc hấp dẫn. Tham số này đặt mối quan hệ giữa lực khôi phục (trong trường hợp này là trọng lực) và quán tính của tàu. Nếu bạn vẽ các góc giải pháp đã tính toán cho mỗi rãnh đánh thức được tìm thấy trên các ảnh vệ tinh tùy thuộc vào số Froude tương ứng, bạn sẽ nhận được sự phụ thuộc khá theo hàm mũ (các chấm đỏ trong Hình 9).

Hình 9 Các góc của giải pháp theo dõi đánh thức tùy thuộc vào số Froude cho các mô hình lý thuyết (đường cong màu xanh), thống kê từ ảnh vệ tinh (chấm đỏ) và mô phỏng (chấm màu vàng). Hình ảnh từ bài viết Marc Rabaud, Frédéric Moisy, 2013. Tàu đánh thức: Kelvin hoặc Mach góc?

Trong khi số Froude nhỏ hơn 0,4-0,6, các góc bằng giá trị được dự đoán, đối với các giá trị lớn của tham số này, thì đường đánh thức trở nên hẹp hơn. Các giá trị nhỏ của số Froude tương ứng với tốc độ nhỏ hoặc kích thước tàu lớn.

Ví dụ, đối với tàu sân bay hạng Nimitz có chiều dài 300 m, chạy với tốc độ tối đa (60 km / h), số Froude sẽ không vượt quá 0,3 và góc giải pháp sóng đánh thức sẽ luôn là \ (\ khoảng 20 ^ {\ circ} \ ). Và một chiếc thuyền đánh cá dài 20 m đã ở tốc độ 30 km / h (bằng một nửa tốc độ tối đa của nó) có thể có số Froude lớn hơn 0,6 và góc đường đánh thức sẽ nhỏ hơn. Đối với vịt (chiều dài 20 cm, tốc độ 0,5 m / s), số Froude không vượt quá giá trị 0,3-0,4.

Vậy thỏa thuận là gì? Những gì chúng tôi đã không đưa vào tài khoản trong quyết định, và tại sao cho số Froude lớn hơn một góc nhỏ hơn của giải pháp thu được? Nó chỉ ra rằng ở kích thước nhỏ của một đối tượng nổi (hoặc ở tốc độ cao) giả định rằng sóng với tất cả các độ dài có thể (hoặc tất cả các wavenumbers có thể) không được đáp ứng. Thực tế là chiều dài tàu L không thể kích thích sóng dài hơn L.

Để tạo thành hình ảnh đẹp với góc không đổi, mà chúng ta đã thảo luận trong giải pháp, nó là cần thiết để kích thích sóng với độ dài ít nhất là lên đến \ (U ^ 2 / g \).Nếu không, nó chỉ ra rằng một số các sóng (thể hiện trong hình 7) chỉ đơn giản là không được tạo ra, và góc tối đa không đạt được. Do đó, khi \ (L \ lesssim U ^ 2 / g \) (hoặc \ (Fr \ gtrsim 1 \)) thì góc truyền tối đa của các gói sóng ít hơn. Lý thuyết này được xác nhận bằng các mô phỏng (Hình 10). Các tác giả của bài viết trên gọi là hai chế độ này (với một số lượng nhỏ và một số lượng lớn Froude) các chế độ Kelvin và Mach, tương ứng.

Hình 10 Mô phỏng nhiễu loạn sóng thức đối với các trường hợp có giá trị khác nhau của số Froude. Hình ảnh từ bài viết Marc Rabaud, Frédéric Moisy, 2013. Tàu đánh thức: Kelvin hoặc Mach góc?

Vì vậy, những gì có thể học được từ toàn bộ câu chuyện này về vấn đề hình học dường như đơn giản nhất. Trước hết, bạn cần phải nhớ rằng bất kỳ vấn đề vật lý nào được mô tả bởi một tập hợp các tham số không thứ nguyên. Nếu không có tham số như vậy (như trong giải pháp của chúng tôi), thì kết quả của mô hình sẽ không phụ thuộc vào bất kỳ thứ gì. Tham số không thứ nguyên – trong trường hợp này, số Froude này – luôn đặt ra một số mối quan hệ giữa hai hiện tượng vật lý, và do đó xác định các giới hạn của khả năng ứng dụng của mô hình vật lý.

Trong bài toán sóng hấp dẫn trên bề mặt nước sâu, tham số này là tỷ số \ (\ lambda / h \), trong đó \ (\ lambda \) là bước sóng và h – độ sâu của đại dương.Nếu tỷ lệ này là khá nhỏ, thì cách tiếp cận “nước sâu” hoạt động, trong đó sóng không cảm thấy sự hiện diện của đáy.

Trong các vấn đề về sự tích lũy của một đĩa mỏng (Disk accretion và Accretion left), tham số này là tỷ lệ độ dày của đĩa với bán kính của nó, cho phép chúng ta xây dựng một mô hình của một đĩa mỏng. Trong bài toán trễ giờ do ảnh hưởng của GR (Hãy kiểm tra đồng hồ), kích thước của điện thế hấp dẫn \ (GM / r \) tới \ (c ^ 2 \) (hoặc, tương đương, tỷ số của bán kính hấp dẫn \ (2GM) / c ^ 2 \) đến khoảng cách đến đối tượng r). Trong trường hợp SRT, tham số này là tỷ số giữa tốc độ của vật thể với vận tốc ánh sáng.

Điều đáng chú ý là các tham số không thứ nguyên (số Reynolds, tỷ số của lực Coriolis đối với quán tính vật chất, vv), mô tả "bầu khí quyển" của các sao neutron (lớp vật chất nặng ion hóa vài centimet trên bề mặt của nó), xấp xỉ với các tham số không thứ nguyên mô tả bầu khí quyển của trái đất. Và điều này mặc dù thực tế là có một môi trường hoàn toàn khác, một chất khác, xoay vòng, các kích thước khác (kích thước của một sao neutron là ~ 10 km, và kích thước của Trái Đất lớn hơn khoảng 1000 lần, vv).Bởi vì điều này, ví dụ, mô tả về động lực của các xoáy trên bề mặt của một sao neutron tương tự như sự mô tả về chuyển động của các cơn bão trên bề mặt Trái Đất.

Vì vậy, một bài học quan trọng là, bắt đầu giải quyết bất kỳ vấn đề vật lý nào, bất kể nó phức tạp như thế nào, trước tiên bạn phải xác định những tham số không có thứ nguyên có liên quan xác định ranh giới của mô hình của bạn. Và do thực tế là toán học "không biết" về sự tồn tại của chiều, bất kỳ mô hình toán học nào của hiện tượng vật lý đều có thể được xây dựng bằng cách sử dụng các tham số và đại lượng không thứ nguyên, mà các nhà vật lý thường xuyên sử dụng.


Like this post? Please share to your friends:
Trả lời

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: