"Cứng" tilings • Khaidar Nurligareev • Nhiệm vụ khoa học phổ biến về "Yếu tố" • Toán học

“Cứng” tilings

Nhiệm vụ

Nó rất dễ dàng để lát máy bay với gạch hình tam giác giống hệt nhau (Hình 1, bên trái). Một sơ đồ như vậy phù hợp với bất kỳ tam giác nào. Chúng ta có thể nói rằng ốp lát này là "không cứng nhắc" theo nghĩa rằng nếu chúng ta thay đổi một chút tỷ lệ của các hình tam giác (chúng vẫn phải bằng nhau), thì một lần nữa chúng ta thu được một mặt phẳng của mặt phẳng theo sơ đồ này (Hình 1, bên phải).

Hình 1.

Nhưng nó xảy ra theo một cách khác. Nhìn vào bức ảnh. 2: ở đây, quá, tất cả các hình tam giác đều bình đẳng, nhưng lược đồ này chỉ hoạt động với tỷ lệ hoàn toàn cụ thể của tam giác. Chúng ta có thể nói rằng sự nghiêng như vậy là "cứng".

Hình 2

a) Giả sử rằng tất cả các hình tam giác trong hình. 2 bằng nhau tìm góc độ và tỷ lệ khung hình của chúng. Chứng minh điều đótừ hình vẽ, chúng được xác định rõ ràng.

b) Hãy đến với "cứng" ốp lát của tứ giác lồi bằng nhau.

c) Hãy đến với "cứng" ốp lát của pentagons bằng nhau (không nhất thiết phải lồi).


Mẹo 1

a) Để có được điều kiện là các góc của tam giác phải thỏa mãn, nó là đủ để sử dụng thực tế rằng tổng các góc kề với mỗi đỉnh là 360 °. Và để tìm kiếm các điều kiện ở hai bên, rất hữu ích khi xem xét các phân đoạn được hình thành bởi một vài cạnh của tam giác liền kề.

Lưu ý rằng các góc và cạnh không thể thay đổi độc lập với nhau, chúng có liên quan với nhau. Hơn nữa, mối quan hệ giữa các góc độ và tỷ lệ khung hình là một-một. Trong thực tế, biết tỷ lệ khung hình, bạn có thể xác định giá trị của các góc theo định lý cosin. Và khi biết các góc độ, bạn có thể tìm thấy tỷ lệ khung hình theo định lý sin. Vì vậy, để giải quyết vấn đề, nó đủ để chỉ tìm thấy hai phương trình ở hai bên hoặc góc.


Mẹo 2

b), c) Ý tưởng cơ bản là như sau. Để việc ốp lát trở nên “khó khăn”, các bản sao của cùng một lát gạch được bao gồm trong nó phải tiếp xúc với nhau theo nhiều cách nhất có thể. Sau đó, mỗi phương pháp như vậy sẽ cung cấp cho một số phương trình cho các góc và bên, và các phương trình nhiều hơn – mức độ tự do ít hơn.

Có một số cách để cố gắng xây dựng một hình xếp như vậy, các bản sao trong đó có thể được áp dụng cho nhau theo các cách khác nhau. Một trong số đó là áp đặt một số giới hạn đặc trưng trên gạch. Ví dụ, tìm kiếm nó trong lớp đa giác với các cạnh song song. Hoặc trong số các ô, các mặt bằng nhau. Nó cũng có thể là một ý tưởng tốt để xem xét các góc chia 360 ° và là bội số của chúng.

Một cách khác có thể là cố gắng sử dụng các tilings đã biết, ví dụ, như trong hình. 3. Sau đó, bạn phải cố gắng để làm cho một gạch mới từ một số gạch hoặc miếng gạch được bao gồm trong lát gốc. Và chỉ sau đó từ các bản sao của ngói kết quả để nằm xuống nền "cứng", trong các đường nét mà lát nền ban đầu sẽ được đoán.

Hình 3


Giải pháp

a) Biểu thị các cạnh và các góc của một hình tam giác được hiển thị ở bên trái trong Hình. 4. Sau đó, xem xét các phân đoạn được hình thành bởi các cạnh của bốn hình tam giác (ở giữa trong hình 4) cho phép chúng tôi để có được một tỷ lệ cho các bên: một + c = 2b. Và nhìn vào đỉnh, trong đó ba hình tam giác hội tụ (ở bên phải trong hình 4), chúng ta hiểu rằng 2γ = 180 °. Do đó, γ = 90 °, nghĩa là tam giác là hình chữ nhật. Do đó, nó thỏa mãn định lý Pythagore: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. \)

Hình 4

Bây giờ, để tìm các mối quan hệ mong muốn, tính toán khá đơn giản:

\ [(a + c) ^ 2 = 4b ^ 2 = 4 (c-a) (c + a). \]

Từ đây chúng tôi nhận được

\ [(a + c) = 4 (ca) \ quad \ rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % % \ quad \ rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % %. \]

Theo đó, các góc của tam giác bằng \ (\ alpha = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ beta = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ gamma = 90 ^ {\ circ}. \)

b) Hãy xem xét một hình thang hình chữ nhật bao gồm một hình vuông và một tam giác vuông, bằng một nửa của hình vuông này (Hình 5, bên trái). Bản sao của hình thang này có thể được gắn vào nhau theo nhiều cách khác nhau.Vì chúng ta muốn lát được tạo thành “cứng”, để bắt đầu, chúng ta cần phải tạo các cấu hình như vậy từ các hình thang được chỉ định sẽ xác định mối quan hệ của các cạnh và các góc của hình thang một cách dứt khoát. Điều này là dễ dàng để đạt được. Ví dụ, đặt cùng các số liệu của bốn gạch thể hiện trong hình. 5, chúng ta sẽ đạt được sự bình đẳng γ = δ = 90 °, và đã thực hiện một chéo từ tám gạch, chúng ta có được điều kiện α = 45 °. Nếu từ ba viên gạch để thu thập các con số thể hiện trong hình. 5 bên phải, sau đó bình đẳng 2một = b.

Hình 5

Rõ ràng, nếu một tứ giác thỏa mãn bốn điểm cân bằng trên, thì nó chắc chắn đại diện cho hình thang hình chữ nhật của chúng ta. Vì vậy, bất kỳ tiling trong đó tất cả các cấu hình nói trên là gặp phải chắc chắn sẽ chứng minh là "cứng" theo nghĩa là, theo cùng một chương trình, nó sẽ không thể gấp ốp lát từ bất kỳ quadrangle khác. Có vô số tương tương tự; ví dụ, đó là tiling thể hiện trong hình. 6

Hình 6

Lưu ý rằng mặc dù ốp lát trong hình. 6 theo định nghĩa của chúng tôi về "cứng", nó dễ dàng bị biến dạng: bạn có thể tự do di chuyển gạch,nằm trong cùng một hàng ngang hoặc dọc dọc theo đường thẳng tương ứng. Điều này có thể tránh được bằng cách thêm chúng theo một cách khác. Ví dụ, như trong hình. 7

Hình 7

c) Tại trung tâm của tilings thể hiện trong hình. 6 và hình. 7, bạn có thể đoán gỗ tiêu chuẩn của hình vuông (Hình 3, bên phải). Chúng tôi cho thấy cách thức tương tự, người ta có thể nhận được một "hình ảnh cứng" của các hình ngũ giác không lồi, bằng cách sử dụng ốp lát với hình tam giác bên phải làm cơ sở (Hình 3, bên trái). Để làm điều này, lấy một viên gạch tạo thành hai hình tam giác thông thường và hai nửa nữa của hình tam giác như vậy (Hình 8, bên trái).

Hình 8

Như trong đoạn trước, trước tiên chúng tôi chỉ định bốn cấu hình xác định ô mà chúng tôi đang xem xét duy nhất. Chúng được thể hiện trong hình. 8. Đầu tiên trong số chúng đặt góc ε = 90 °. Thứ hai cho phép bạn viết quan hệ 3γ + 2ε = 360 °, và vì góc ε đã được cố định, chúng ta nhận được γ = 60 °. Tương tự, cấu hình thứ ba mang lại sự bình đẳng α + γ + 3ε = 360 °, từ α = 30 °. Cuối cùng, cấu hình sau cho phép chúng ta hiểu rằng β + 2γ = 360 °, tức là, β = 240 °. Đối với góc δ, nó được xác định dựa trên thực tế là tổng các góc của ngũ giác là 540 °, và δ = 120 °.

Hình 9

Nó chỉ ra rằng chỉ có cấu hình hiển thị ở giữa trong hình. 8, đủ cho sự bình đẳng b = e = một = d. Do đó, bốn cấu hình trên thực sự xác định gạch hình ngũ giác độc đáo. Vì vậy, nó vẫn là để cho một ví dụ về một ốp lát bao gồm tất cả chúng. Khi xây dựng nó, ý tưởng xây dựng dải giúp: đầu tiên, với bản sao của gạch của chúng tôi, chúng tôi tạo ra một dải vô hạn có thể được áp dụng cho chính nó (hình 9). Và sau đó chúng tôi bao phủ toàn bộ mặt phẳng với các đường sọc như vậy (Hình 10). Chúng tôi lưu ý khả năng ứng dụng rộng rãi của ý tưởng thiết kế dải: cấu trúc “sọc” tương tự có cả độ nghiêng, mà chúng tôi đã tạo khi giải quyết điểm b)và, nói chung, bất kỳ lát đá định kỳ nào, trên thực tế, đều được tạo thành từ các dải. Tuy nhiên, trường hợp này không bị giới hạn đối với các tia định kỳ (như có thể quan sát được, ví dụ, trong bài toán Polamimina Parqueta).

Hình 10

Trong ví dụ của chúng tôi, lát gạch không lồi, nhưng điều này hoàn toàn không phải là điều kiện tiên quyết để tạo ra một "lát cứng". Hãy xem gạch hình ngũ giác thể hiện trong hình. 11 – nó bao gồm một hình vuông và hai hình tam giác bên phải với một góc nhỏ hơn 22,5 °.Nó chỉ ra rằng bản sao của một gạch cũng có thể được lát gạch trong một máy bay "cứng", như được hiển thị bên phải trong hình. 11. Đúng, điều này hơi khó để chứng minh hơn là “độ cứng” của tilings mà chúng ta đã gặp trước đó. Tuy nhiên, chúng ta hãy phác thảo những điểm chính của bằng chứng này.

Hình 11

Trước hết, từ sơ đồ theo đó gạch xếp chồng lên nhau, rõ ràng là các bên thỏa mãn các mối quan hệ một = e = bc = b + d. Đối với các góc, bốn phương trình có thể được biên dịch trên chúng, từ đó rõ ràng là α = γ, δ = ε, β + δ = 180 ° và β + 180 ° = 2γ. Do đó, bằng cách nhập góc φ = δ / 2, chúng ta có thể biểu diễn các góc khác thông qua nó:

\ [\ alpha = 180 ^ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ beta = 180 ^ {\ circ} -2 \ varphi, \ quad \ gamma = 180 ^ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ delta = 2 \ varphi, \ quad \ varepsilon = 2 \ varphi. \]

Bây giờ ý tưởng chính là như sau. Đối với việc ốp lát là “khó khăn”, điều cần thiết là anh ta thiếu mức độ tự do. Hiện tại, ô của chúng tôi có hai tham số mà chúng tôi có thể thay đổi: góc φ và tỷ lệ cỡ ảnh mộtd. Tuy nhiên, những thay đổi này không thể tùy ý, bởi vì các tham số có liên quan với nhau. Nếu, sau khi phân tích bản chất của kết nối này, chúng tôi chỉ cho thấy một số hữu hạn các góc và tỷ lệ khung hình có thể được thực hiện cho sơ đồ này, sau đó nó sẽ ngay lập tức theo đó lát gạch mong muốn là “cứng”.

Chúng tôi giới thiệu các ký hiệu như được hiển thị ở phía dưới bên trái trong hình. 11. Bởi vì CDEF – hình thang đều, sau đó bazơ

\ (CF = a-2a \ cos2 \ varphi = a (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \).

Do đó, chúng tôi có thể tìm thấy tỷ lệ phân đoạn mộtdthể hiện một phân đoạn Bf theo định lý cosin trong tam giác ABFCBF:

\ [BF ^ 2 = d ^ 2 + d ^ 2-2d ^ 2 \ cos (180 ^ {\ circ} – \ varphi) = a ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) ^ 2-2a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos \ varphi. \]

Chuyển đổi, chúng tôi nhận được

\ [\ dfrac {d ^ 2} {a ^ 2} = 5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi. \]

Mặt khác, chúng ta có thể tìm thấy tỷ lệ của các phân đoạn mộtdthể hiện một phân đoạn AC theo định lý cosin trong tam giác ABCAFC:

\ [AC ^ 2 = a ^ 2 + d ^ 2-2ad \ cos (180 ^ {\ circ} -2 \ varphi) = \ = d ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi ) ^ 2-2ad (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos2 \ varphi. \]

Nếu \ (\ cos2 \ varphi \ ne0 \), nghĩa là, nếu hình ngũ giác khác với của chúng ta, chúng ta đến mức bình đẳng sau:

\ [\ dfrac % % = \ dfrac {2 (\ cos ^ 2 \ varphi-1)} {2 \ cos ^ 2 \ varphi-1} = – \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ varphi} {\ cos2 \ varphi}. \]

Đặc biệt, nó có thể được nhìn thấy từ đây rằng điều này chỉ có thể với \ (\ cos2 \ varphi <0 \), và

\ [5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi = \ dfrac {4 (\ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2} {(2 \ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2}. \]

Phương trình cuối cùng chỉ có thể có một số lượng hữu hạn của các giải pháp. Do đó, việc mở đường trong câu hỏi là "cứng".


Lời nói

Tất cả các tilings được thảo luận ở trên như là một phần của nhiệm vụ này, về cơ bản sử dụng một gạch đa giác đơn. Chúng tôi đã sao chép lát này và sau đó bao phủ toàn bộ mặt phẳng với các bản sao không có khoảng trống và lớp phủ. Tilings như vậy được gọi là monohedralvà đa giác cơ bản là protoplitka. Như chúng ta đã thấy, mặc dù việc cấm sử dụng các loại gạch khác nhau, hình ảnh thu được rất đa dạng. Trong nhiều trường hợp, các tilings với protoplite này hóa ra là vô cùng nhiều, hơn nữa – số vô số của họ. Đồng thời, đối với các protoplices khác (như, ví dụ, đối với hình lục giác thông thường), ốp lát là duy nhất, và một số protoplits không cho phép ốp lát.

Sẽ là tự nhiên khi hỏi làm thế nào, bằng hình thức của một đa giác nhất định, để hiểu liệu có thể xếp một mặt phẳng với các bản sao của nó hay không. Tuy nhiên, thuật toán sẽ cho phép trả lời câu hỏi này, khi nhận được một lát ở lối vào, và ở đầu ra đã cho kết quả "có" hoặc "không", không được biết đến với nhân loại. Hơn nữa, có những lý do nghiêm trọng để nghi ngờ rằng nó tồn tại về nguyên tắc. Chúng tôi sẽ thảo luận ngắn gọn những gì có thể can thiệp với điều này. Đối với điều này, nó sẽ hữu ích để ít nhất bề ngoài làm quen với nhóm đối xứng của tilings.

Đối xứng Tiling này được gọi là một chuyển động của mặt phẳng, mà dịch tiling này vào chính nó. Nói thật, nếu bạn nhìn nghiêng trong một thời gian dài, rồi quay đi,nhưng một người nào đó phía sau lưng bạn đã di chuyển tất cả các ô để, trước tiên, khoảng cách giữa các ô được giữ nguyên, và thứ hai, bạn quay lại và bạn không thể tìm thấy sự khác biệt – điều này là đối xứng. Nếu trong số các tập hợp của tất cả các đối xứng của một lát gạch có hai bản dịch song song không được hướng dẫn, thì lát gạch này được gọi là định kỳ. Ví dụ, tilings trong hình. 6, 7, 10 và 11, và thực sự tất cả các tilings mà chúng tôi đã thảo luận cho đến nay. Tuy nhiên, trong tất cả các ví dụ này, bạn có thể dễ dàng sắp xếp lại các ô để thuộc tính này không còn hợp lệ nữa.

Trần định kỳ được đặc trưng bởi sự hiện diện của cái gọi là khu vực cơ bản – một tập hợp con của các lát gạch mà tất cả các lát có thể thu được bằng cách truyền song song của tập hợp con này (đây chỉ là "các ban nhạc" của chúng tôi đã được đề cập trong quyết định). Do đó, cố gắng trả lời câu hỏi liệu có thể mở toàn bộ mặt phẳng với các bản sao của protoplica này, nó là khá tự nhiên để hành động như sau. Nó là cần thiết để đi qua tất cả các tùy chọn có thể, tham gia gạch với nhau, và, nếu tại một số điểm một khu vực cơ bản phát sinh, sau đó có một ốp lát.Và nếu chúng tôi liệt kê tất cả các tùy chọn, nhưng chúng tôi không tìm thấy khu vực cơ bản, thì ô xếp kề này không cho phép ốp lát.

Tuy nhiên, phương pháp tìm kiếm này có một nhược điểm đáng kể. Đột nhiên protoplica của chúng tôi hóa ra là không tuần hoàn, có nghĩa là, có thể mở toàn bộ mặt phẳng bằng các bản sao của nó, nhưng tất cả các tilings này đều không định kỳ? Sau đó, tất cả các cách để tham gia vào gạch với nhau, chúng tôi sẽ không bao giờ đi qua, bởi vì họ có thể bao gồm một mảnh kích thước tùy ý lớn. Nhưng chúng ta cũng sẽ không thể tìm thấy một khu vực cơ bản, bởi vì không có sự nghiêng về định kỳ. Vì vậy, chúng tôi sẽ đi qua các tùy chọn để vô cùng và không bao giờ dừng lại.

Cho dù có protoplits không tuần hoàn, nó hiện không được biết đến với một số – postulating thực tế này giả thuyết conway chưa được chứng minh. Vì vậy, vẫn có một số xác suất rằng thuật toán trên cho phép chúng ta trả lời câu hỏi liệu có thể xây dựng một lát dựa trên protoplite này hay không. Tuy nhiên, trong một không gian ba chiều, một giả thuyết tương tự đã được giải quyết một cách tích cực, và trên mặt phẳng Lobachevsky nữa. Ngoài ra, chúng ta phải tăng số lượng protoplices đã sử dụng lên hai, vì chúng ta ngay lập tức khám phá một ví dụ về một bộ tuần hoàn – khảm Penrose nổi tiếng (Hình 12).

Hình 12 Penrose mosaic.Hình ảnh từ ru.wikipedia.org

Nếu không chắc chắn liệu nó luôn có thể hiểu được từ một viên gạch đã cho hay không, liệu nó có thừa nhận mặt phẳng của mặt phẳng hay không, bạn nên cố gắng xem xét một trường hợp ít chung hơn và áp đặt bất kỳ hạn chế nào đối với protoplica. Trước hết, chúng tôi giả định rằng tất cả các đa giác tạo nên ốp lát đều lồi. Tình trạng này trở nên khá mạnh: nó chỉ ra rằng số lượng mặt của một proto-ngói lồi mà thừa nhận lát không vượt quá 6. Tuy nhiên, những khó khăn nghiêm trọng phát sinh ở đây.

Hình 13

Nó rất dễ dàng để đảm bảo rằng toàn bộ mặt phẳng có thể được phủ bằng các bản sao của bất kỳ tam giác nào, cũng như với các bản sao của bất kỳ hình tứ giác nào – ở đây thậm chí không cần điều kiện lồi (Hình 13). Tuy nhiên, với hình ngũ giác tất cả mọi thứ không đơn giản như vậy. Các nghiên cứu về tuốc lều monohedral của pentagons có một lịch sử phong phú, và ngay cả bây giờ không có hoàn toàn chắc chắn rằng nhiệm vụ này đã tìm thấy kết luận hợp lý của nó. Rõ ràng, Carl Reinhard là người đầu tiên phân loại vào năm 1918, làm nổi bật năm loại lồi ngũ giác lồi (Hình 14). Mỗi loại được đặc trưng bởi một tập hợp các điều kiện nhất định ở hai bên và góc, tuy nhiên, còn lại, một sự tự do nhất định – tất cả các tilings này đều “không cứng nhắc”.Nửa thế kỷ sau, vào năm 1968, Richard Kirchner đã thông báo cho thế giới về việc khám phá thêm ba loại tilings, tuyên bố rằng với tám loại tất cả mọi thứ đã cạn kiệt. Tuy nhiên, ông đã trở thành sai: năm 1975, Richard James, sau khi đọc một bài báo của nhà phổ biến nổi tiếng của khoa học, Martin Gardner, tìm thấy một loại khác. Nhưng một bước đột phá thực sự trong hai năm tiếp theo được thực hiện bởi bà nội trợ Marjorie Rice, người đã đọc cùng một bài báo – cô ấy đã tìm thấy bốn loại mới của túp lều monohedral với hình ngũ giác lồi.

Hình 14 15 mặt bích đơn của mặt phẳng bằng hình ngũ giác. Ảnh từ forbes.com

Câu chuyện, tuy nhiên, đã không kết thúc ở đó: mặt đường thứ mười bốn đã được tìm thấy bởi Rolf Stein vào năm 1985 – không giống như tất cả những người trước đó, nó là "khó khăn". Và ba mươi năm sau, một nhóm các nhà nghiên cứu gồm Casey Mann, Jeniffer MacLeod và David von Durey, sử dụng tính toán máy tính, phát hiện ra vỉa hè thứ mười lăm, cũng không có mức độ tự do. Cuối cùng, vào năm 2017, Michael Rao trình bày bằng chứng rằng không có tấc ngũ giác khác. Tuy nhiên, để chứng minh điều đó, Rao đã sử dụng một chương trình máy tính đặc biệt bằng văn bản, gây ra một sự hoài nghi nhất định trong một phần của cộng đồng khoa học, mặc dù nó được tái tạo và xác minh độc lập.

Một cách tiếp cận khác để phân loại tuốc lều monohedral được dựa trên thực tế là chúng tôi tập trung vào các thuộc tính của gạch đối với nhóm đối xứng. Nếu cho bất kỳ hai viên gạch trong vỉa hè, có một đối xứng mà có gạch đầu tiên đến thứ hai, sau đó một lát như vậy được gọi là isohedral. Nói chung, chúng tôi nói rằng chồng chất k-isohedralnếu bộ gạch của nó được chia thành k các lớp theo hành động của một nhóm đối xứng. Ví dụ, tilings trong hình. 13 là isohedral, bởi vì mỗi gạch có thể được chuyển đổi thành bất kỳ một trong hai khác bằng cách chuyển song song (gạch như vậy được sơn một màu) hoặc bằng cách xoay (như gạch được sơn màu sắc khác nhau). Và lát trên gạo. 11 đã được 2-isohedral: gạch sơn màu vàng có thể được chuyển đổi thành nhau để ốp lát là tự kết hợp, cũng giống như gạch màu xanh có thể được dịch sang nhau, nhưng gạch màu xanh không thể được dịch sang màu vàng. Tilings khác mà chúng ta đã thấy trong giải pháp cũng k-nhà thờ khác nhau k. Để thấy điều này, chúng tôi vẽ lại chúng để gạch có thể được dịch sang nhau bằng cách đối xứng ốp lát và chỉ khikhi chúng được sơn một màu (như nó đã được lát từ điều kiện đó, như chúng ta bây giờ hiểu, là 3-isohedral). Sau khi thực hiện điều này, chúng tôi thấy rằng đối với một trong số họ k = 8 (hình 15, bên trái), thứ hai k = 16 (Hình 15, bên phải) và thứ ba k = 10 (Hình 15, bên dưới).

Hình 15

Isohedral tilings bởi đa giác lồi có thể được phân loại. Vì vậy, mọi thứ đều có sẵn:

  • 14 isohedral lát gạch hình tam giác,
  • 56 ốp lát với gạch tứ giác lồi,
  • 24 isohedral ốp lát bằng gạch hình ngũ giác lồi,
  • 13 ốp lát với gạch hình lục giác lồi.

Về cơ bản, chúng là "không cứng nhắc" (như trong hình vẽ trong hình 13). Nhưng một số trong số họ trong thời gian biến dạng không còn là isohedral. Chẳng hạn, chẳng hạn, là ốp lát trên hình. 16: chúng ta có thể dịch chuyển các sọc ngang tương đối với nhau, nhưng sau đó hình tam giác với cơ số nằm ngang không thể được chuyển đổi thành một tam giác với cơ sở nghiêng bởi đối xứng.

Hình 16

Để phân loại k– isohedral tilings với k > 1 cũng có thể. Tuy nhiên, cũng như cho tilings với gạch không lồi, điều này là phức tạp hơn nhiều, và đã là trường hợp của 2-isohedral tilings trở nên khó khăn để xem do số lượng lớn các tùy chọn phân nhánh. Và về các giá trị lớn k chúng tôi thậm chí sẽ không nói chuyện.


Like this post? Please share to your friends:
Trả lời

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: