Brian Davis: “Toán học đi đâu?” • Alexander Sergeev • Tin khoa học về “Yếu tố” • Toán học, Phương pháp khoa học

Brian Davis: “Toán học ở đâu?”

Giáo sư Brian Davis, Khoa Toán, Đại học King's College, Luân Đôn (ảnh từ www.mth.kcl.ac.uk)

Hội toán học Mỹ đã chấp nhận một bài viết của Brian Davies, một giáo sư tại trường Cao đẳng Hoàng gia London, để xuất bản. Trong nghiên cứu mang tên “Toán học không?” (“Toán học đi đâu?”), Người ta lập luận rằng trong thế kỷ 20, chính xác nhất về khoa học chính xác đã trải qua một sự thay đổi về cơ bản thay đổi bản chất của các kết quả thu được trong đó. Trong tương lai, theo Giáo sư Davis, toán học sẽ trở nên hoàn toàn khác với khoa học đã được biết đến trong hai nghìn năm qua.

Đối với thiên niên kỷ, người ta tin rằng toán học tiết lộ chân lý vĩnh cửu không thể chối cãi. Nhiều báo cáo toán học đáng chú ý, chẳng hạn như các định lý về hình học Euclide, là đúng trong ngày của chúng ta, giống như chúng đã được hai nghìn năm trước. Tuy nhiên, trong thế kỷ 20, toán học trải qua ba cuộc khủng hoảng sâu làm thay đổi đáng kể tình trạng nghiên cứu toán học.

Cuộc khủng hoảng đầu tiên được kết hợp với định lý không hoàn chỉnh của Godel, trong đó nêu rõ rằng trong bất kỳ hệ tiên đề đủ giàu có nào thì không thể được chứng minh hay bác bỏ.Mặc dù định lý của Gödel có ảnh hưởng không đáng kể đến công việc thực tế của các nhà toán học, nhưng nó liên quan trực tiếp đến vấn đề của tình trạng bản thể học của các đối tượng toán học.

Hầu hết các nhà toán học, viết Brian Davis, trực giác tuân thủ một khái niệm được gọi là Platonism. Theo khái niệm này, các thực thể và công trình toán học, như các ý tưởng của Plato, có một sự tồn tại khách quan nhất định, ví dụ, như các khả năng logic. Nhưng đối với các thực thể khách quan, tất cả các đặc tính phải được xác định hoàn toàn duy nhất, hầu như không tương thích với định lý của Gödel.

Bốn màu sắc đủ để tô màu bản đồ của nước Anh để không có hai hạt lân cận nào được sơn cùng màu. Vì vậy, bạn có thể tô màu bất kỳ bản đồ nào trên mặt phẳng. Định lý được xây dựng vào năm 1852 và được chứng minh vào năm 1976 sử dụng một máy tính (Hình. Từ cuốn sách của định lý Fermat vĩ đại, MCNMO, 2000)

Brian Davis liên quan đến cuộc khủng hoảng thứ hai cho cuộc xâm lược của toán học máy tính. Xem xét ví dụ về định lý tô màu bản đồ bốn màu, ông nhớ lại rằng việc liệt kê toàn bộ tất cả các nhánh trong bằng chứng chỉ có thể thực hiện được trên máy tính.Tuy nhiên, nhiều nhà toán học đã nghi ngờ nghiêm trọng về việc có bao nhiêu bằng chứng như vậy có thể được tin cậy, mà chưa bao giờ được xác minh đầy đủ "thủ công".

Phê bình ở đây có một số khía cạnh. Đầu tiên, máy tính có thể thất bại trong các tính toán. Ngay cả khi kết quả được kiểm tra nhiều lần, điều này chỉ làm tăng xác suất của bằng chứng là chính xác, nhưng nó không làm cho nó hoàn toàn đáng tin cậy. Thứ hai, các bộ xử lý và các chương trình phụ trợ (trình biên dịch, thư viện, vv) có thể chứa (và thậm chí chắc chắn chứa) các lỗi, và không thể loại trừ hoàn toàn ảnh hưởng của chúng lên tính chính xác của bằng chứng. Và cuối cùng, điều quan trọng nhất: bản thân chương trình, được viết để tìm kiếm hoặc xác minh bằng chứng, cũng có thể chứa lỗi. Nghiêm túc toán học đảm bảo rằng nó hoàn toàn phù hợp với các đặc điểm kỹ thuật là khó khăn như bằng tay xác minh bằng chứng với sự giúp đỡ của nó (và có thể khó khăn hơn). Nó đủ để nói rằng các mô tả của các ngôn ngữ trong đó các chương trình được viết có chứa hàng trăm trang của văn bản không phải luôn luôn hoàn toàn rõ ràng. Việc bao gồm các mô tả như vậy trong việc xây dựng định lý sẽ tước đi bất kỳ viễn cảnh nào có được bằng chứng.

Tất cả những cân nhắc này đã dẫn đến một thực tế rằng một số nhà toán học thuần túy là vô cùng hoài nghi về các bằng chứng thu được bằng cách sử dụng máy tính. Tuy nhiên, trong những thập kỷ gần đây, nhiều định lý đã xuất hiện, các bằng chứng trong số đó hoàn toàn không thể tưởng tượng được cho tâm trí con người, nếu không được khuếch đại bởi máy tính.

Thomas Hales từ Đại học Michigan cho thấy giải pháp của vấn đề của Kepler về bao bì dày đặc nhất của quả bóng trong không gian, vốn đã chờ đợi giải pháp của nó kể từ năm 1611 (ảnh từ www.umich.edu)

Ví dụ, Davis đưa ra một giải pháp cho cái gọi là vấn đề Kepler của bao đóng gói dày đặc nhất. Năm 1998, Thomas Hales giới thiệu với tạp chí Biên niên sử về Toán học bằng chứng của các tuyên bố tương ứng, trong đó đã hơn 250 tờ và bao gồm, cùng với lý luận hình học, kết quả của tính toán máy tính rộng lớn. Nhóm hai mươi chuyên gia, bắt đầu phân tích bằng chứng, cuối cùng đã sụp đổ vào năm 2004, và không đi đến kết luận cuối cùng về tính đúng đắn của bằng chứng.

Tuy nhiên, vẫn là đỉnh cao thực sự của “cơn ác mộng phức tạp”, Brian Davis đưa ra một ví dụ khác – một vấn đề được gọi là phân loại các nhóm hữu hạn đơn giản.Đối với câu hỏi đang được thảo luận, nó không quan trọng như vậy vấn đề chính là gì. Điều quan trọng là lý thuyết của các nhóm dựa trên nhiều lĩnh vực nghiên cứu trong vật lý và toán học, và do đó câu hỏi về phân loại các nhóm được coi là rất quan trọng.

Để giải quyết nó trong thập niên 1970, một nhóm các nhà toán học quốc tế đã được lắp ráp. Khoảng một trăm nhà lý thuyết phân chia công việc giữa họ và bắt đầu giải quyết vấn đề. Điều này, rõ ràng, là ví dụ duy nhất trong lịch sử của một cách tiếp cận "công nghiệp" như vậy để giải quyết một vấn đề toán học. Dần dần, ba gia đình vô hạn của các nhóm và 26 trường hợp đặc biệt của các nhóm hữu hạn đã được chọn ra (sự tồn tại của các nhóm lớn nhất trong số họ đã được phát hiện chỉ thông qua máy tính).

Sau đó, câu hỏi nảy sinh từ việc chứng minh bản chất đầy đủ của phân loại này. Khi công việc của các nhóm khác nhau bắt đầu được kết hợp thành một bằng chứng chung, nhiều khoảng trống bắt đầu được phát hiện. Hầu hết trong số họ dần dần quản lý để đóng cửa. Tuy nhiên, tại thời điểm này – 25 năm sau khi thông báo đầu tiên rằng định lý được chứng minh – chỉ có 5 trong số 12 tập đầy đủ bằng chứng được xuất bản.

Theo các chuyên gia, bằng chứng có thể được coi là khá ổn định. Nhưng điều này chỉ có nghĩa là những khoảng trống bằng chứng hiện tại không có vẻ cơ bản và, rõ ràng, có thể đóng cửa với chi phí nỗ lực vừa phải và không thay đổi chiến lược chứng minh tổng thể. Tuy nhiên, sự tồn tại của những khoảng trống này cho thấy rằng không thể đưa ra một sự đảm bảo về độ tin cậy của bằng chứng khổng lồ nói chung. Nhưng thậm chí tệ hơn, ngay cả khi với thời gian tất cả những khoảng trống trong bằng chứng có thể bị đóng lại, không chắc rằng sẽ có ít nhất một tá nhà toán học trên khắp Trái đất hiểu đầy đủ về logic của bằng chứng quái dị.

Vì vậy, toán học đã phải đối mặt với vấn đề phức tạp gần như không thể cưỡng lại của bằng chứng. Các giải pháp của một nhiệm vụ quan trọng, được xây dựng trong một số câu, có thể chiếm hàng chục ngàn trang, mà thực sự làm cho nó không thể ghi lại đầy đủ và hiểu nó.

Trong phần kết luận của bài viết của mình, Brian Davis mô tả bản chất của những thay đổi trong toán học. “Vào năm 1875, mỗi người có khả năng toán học có thể, trong vòng vài tháng, hoàn toàn hiểu được bằng chứng về hầu hết các định lý đã biết.Đến năm 1975 … toán học vẫn hoàn toàn có thể hiểu được bằng chứng của bất kỳ định lý đã được chứng minh. Đến năm 2075, nhiều lĩnh vực toán học thuần túy sẽ phụ thuộc vào định lý mà không ai trong số các nhà toán học hiểu được, dù là cá nhân hay tập thể. … Một vụ chính thức sẽ là xác minh chính thức bằng chứng phức tạp, nhưng sẽ có nhiều kết quả, sự công nhận sẽ dựa trên sự đồng thuận xã hội không ít hơn bằng chứng nghiêm ngặt. ”

Giống như các kỹ sư, các nhà toán học sẽ không nói về kiến ​​thức vững chắc, nhưng về mức độ tin cậy vào độ tin cậy của kết quả của họ. Điều này có thể mang lại cho toán học gần gũi hơn với các ngành khác và, có thể, dẫn đến việc loại bỏ các câu hỏi triết học về tình trạng bản thể học đặc biệt của các đối tượng toán học.

Alexander Sergeev

P.S. Toàn văn của bài báo có thể tìm thấy ở đây. Theo ý kiến ​​cá nhân của tôi, nó chắc chắn xứng đáng được dịch sang tiếng Nga.


Like this post? Please share to your friends:
Trả lời

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: